Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P = |z+1/z| với z là số phức khác

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $P=\left|\frac{z+i}{z}\right|,$ với z là số phức khác 0 và thỏa mãn $\left|z\right|\ge 2.$ Tính tỷ số $\frac{M}{m}.$

Trả lời

Gọi $T=\frac{z+i}{z}\Rightarrow (T-1)z=i.$

Nếu $T=1\Rightarrow$ Không có số phức nào thoả mãn yêu cầu bài toán.

Nếu $T\ne 1\Rightarrow z=\frac{i}{T-1}\iff \left|z\right|=\left|\frac{i}{T-1}\right|\ge 2\Rightarrow |T-1|\le \frac{1}{2}.$

Vậy tập hợp điểm biễu diễn số phức T là hình tròn tâm $I(1;0)$ có bán kính $R=\frac{1}{2}.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}M=OB=OI+R=\frac{3}{2}\\ m=OA=|OI-R|=\frac{1}{2}\end{array}\Rightarrow \frac{M}{m}=3.\right.$

Chọn B