Gọi AI và AM lần lượt là đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC

Bài 9.38 trang 84 Toán 7 Tập 2:

Gọi AI và AM lần lượt là đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) AI < $\frac{1}{2}$(AB + AC);

b) AM < $\frac{1}{2}$(AB + AC).

Trả lời

a) Xét $∆$AIC vuông tại I có AC là cạnh huyền.

Do đó AC > AI (1).

Xét $∆$AIB vuông tại I có AB là cạnh huyền.

Do đó AB > AI (2).

Từ (1) và (2) ta có AB + AC > AI + AI hay AB + AC > 2AI

Suy ra AI < $\frac{1}{2}\left(AB+\text{}AC\right)$

b) Lấy D sao cho M là trung điểm của AD.

Xét $∆$ABM và $∆$DCM có:

MA = MD (theo cách vẽ),

$\widehat{AMB}=\widehat{DMC}$ (hai góc đối đỉnh),

 MB = MC (do M là trung điểm của BC),

Do đó $∆$ABM = $∆$DCM (c.g.c)

Suy ra AB = DC (hai cạnh tương ứng).

Khi đó AB + AC = DC + AC.

Trong $∆$ACD có DC + AC > AD (bất đẳng thức tam giác)

Hay AB + AC > AD.

Mà AD = 2AM (do M là trung điểm của AD).

Suy ra AB + AC > 2AM hay AM < $\frac{1}{2}$(AB + AC).

Vậy AM < $\frac{1}{2}$(AB + AC).

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 33: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác

Luyện tập chung trang 71

Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến. Ba đường phân giác trong một tam giác

Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác

Luyện tập chung trang 83

Bài tập cuối chương 9