Gọi a là số thực, a > 1 sao cho phương trình a^x=log ax có nghiệm duy nhất. Chọn mệnh đề đúng.

Gọi a là số thực, a > 1 sao cho phương trình $a^x={\log }_{a}x$ có nghiệm duy nhất. Chọn mệnh đề đúng.

Trả lời

Chọn A

Ta có: $a^x={\log }_{a}x\iff a^x+{\log }_a{a}^x={\log }_{a}x+x$.

Xét hàm số:

$\begin{array}{l}f\left(t\right)={\log }_{a}t+t,t\in (0;+\infty )\\ \Rightarrow f^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{1}{t\ln a}+1>0,t\in (0;+\infty ),a>1.\end{array}$

Suy ra hàm số $f\left(t\right)={\log }_{a}t+t$ đồng biến trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$.

Do đó: $a^x+{\log }_a{a}^x={\log }_{a}x+x\iff f\left(a^x\right)=f\left(x\right)\Rightarrow a^x=x\iff a^x-x=0$.

Xét hàm số: $g\left(x\right)=a^x-x$

$g^{\text{'}}\left(x\right)=a^x\ln a-1=0\iff x={\log }_a\left(\frac{1}{\ln a}\right)$.

Bảng biến thiên

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình $a^x-x=0$có nghiệm duy nhất

$\iff g\left({\log }_a\right(\frac{1}{\ln a})=0\iff a^{{\log }_a\left(\frac{1}{\ln a}\right)}={\log }_a(\frac{1}{\ln a})\iff a\approx 1,445$(Casio).

Vậy ta có: $a\in (1,4;1,5).$