Chọn A

Ta có: $y^{\text{'}}=2x^3-2x{y}^{\text{'}}=0\iff x^3-x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm 1\end{array}\right.$.

Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là $A\left(0;-1\right); B\left(1;-\frac{3}{2}\right);C\left(-1;-\frac{3}{2}\right)$.

Tam giác ABC có điểm A thuộc trục tung, hai điểm B,C đối xứng nhau qua trục tung nên tam giác ABC cân tại A. Trung điểm $H\left(0;-\frac{3}{2}\right)$ của BC thuộc trục tung và là chân đường cao hạ từ A của tam giác, suy ra:

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}\left|y_A-y_H\right|.\left|x_B-x_C\right|=\frac{1}{2}\left|-1+\frac{3}{2}\right|.2=\frac{1}{2}$.