Giải các bất phương trình bậc hai: x^2 – 1 ≥ 0

Giải các bất phương trình bậc hai: 

a) x² – 1 ≥ 0; 

b) x² – 2x – 1 < 0; 

c) – 3x² + 12x + 1 ≤ 0; 

d) 5x² + x + 1 ≥ 0. 

Trả lời

a) Tam thức f(x) = x² – 1 có ∆ = 0² – 4 . 1 . (– 1) = 4 > 0 nên f(x) có hai nghiệm x₁ = – 1 và x₂ = 1. 

Mặt khác hệ số a = 1 > 0, do đó ta có bảng xét dấu sau: 

Tập nghiệm của bất phương trình là S = (– ∞; – 1] ∪ [1; + ∞). 

b) Tam thức f(x) = x² – 2x – 1 có ∆' = (– 1)² – 1 . (– 1) = 2 > 0 nên f(x) có hai nghiệm x₁ = 1$-\sqrt{2}$ và x₂ = 1 + $\sqrt{2}$. 

Mặt khác hệ số a = 1 > 0, do đó ta có bảng xét dấu sau: 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = .

c) Tam thức f(x) = – 3x² + 12x + 1 có ∆' = 6² – (– 3) . 1 = 39 > 0 nên f(x) có hai nghiệm $x_1=\frac{6-\sqrt{39}}{3}$ và $x_2=\frac{6+\sqrt{39}}{3}$. 

Mặt khác hệ số a = – 3 < 0, do đó ta có bảng xét dấu sau: 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = $\left(-\infty ;\frac{6-\sqrt{39}}{3}\right]\cup \left[\frac{6+\sqrt{39}}{3};+\infty \right)$.

d) Tam thức f(x) = 5x² + x + 1 có ∆ = 1² – 4 . 5 . 1 = – 19 < 0 và hệ số a = 5 > 0 nên f(x) luôn dương (cùng dấu a) với mọi $x\in ℝ$. 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $ℝ$.