Có bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau được thành lập từ tập \(A = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8} \right\}\) sao cho số đó chia hết cho 1111?

Đáp án A

Phương pháp:

Sử dụng tính chất chia hết và phương pháp chặn.

Cách giải:

Đặt \(m = \overline {{a_1}{a_2}...{a_8}} \left( {{a_i} \in A,{a_i} \ne {a_j}\forall i;j = \overline {1;8} } \right).\)

Do \({a_i} \in A\), các \({a_i} \ne {a_j}\forall i;j = \overline {1;8} \) nên \(\sum\limits_{i = 1}^8 {{a_i}} = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36.\)

Do đó \(m \vdots 9\). Mà \(m \vdots 1111\left( {gt} \right) \Rightarrow m \vdots 9999.\)

Đặt \(p = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}} ;q = \overline {{a_5}{a_6}{a_7}{a_8}} \) ta có:

\(m = p{.10^4} + q = 9999.p + \left( {p + q} \right) \vdots 9999 \Rightarrow \left( {p + q} \right) \vdots 9999.\)

Do \(0 < p,q < 9999 \Rightarrow 0 < p + q < 2.9999\)

Mà \(\left( {p + q} \right) \vdots 9999 \Rightarrow p + q = 9999 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} + {a_5} = 9\\{a_2} + {a_6} = 9\\{a_3} + {a_7} = 9\\{a_4} + {a_8} = 9\end{array} \right..\)

Có 4 cặp có tổng bằng 9 là \(\left( {1;8} \right);\left( {2;7} \right);\left( {3;6} \right);\left( {4;5} \right).\)

Suy ra có 8 cách chọn \({a_1}\), ứng với mỗi cách chọn \({a_1}\) có 1 cách chọn \({a_5}.\)

            6 cách chọn \({a_2}\left( { \ne {a_1}, \ne {a_5}} \right)\), ứng với mỗi cách chọn \({a_2}\) có 1 cách chọn \({a_6}.\)

            4 cách chọn \({a_3}\left( { \ne {a_1},{a_2},{a_5},{a_6}} \right)\), ứng với mỗi cách chọn \({a_3}\) có 1 cách chọn \({a_7}.\)

            2 cách chọn \({a_4}\left( { \ne {a_1};{a_2};{a_3};{a_5};{a_6};{a_7}} \right)\), ứng với mỗi cách chọn \({a_4}\) có 1 cách chọn \({a_8}.\)

Áp dụng quy tắc nhân, có tất cả \(8.6.4.2 = 384\) số thỏa mãn yêu cầu bài toán.