Chọn A

Hàm số đã cho xác định trên khoảng đã cho, ta có

$f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{x^2+4x+4-m}{{\left(x+2\right)}^2}$.

Để hàm số đồng biến trên $\left(1;+\infty \right)$ thì  $x^2+4x+4-m\ge 0,\forall x\ge 1\iff m\le \underset{x\ge 1}{\text{min}}\left\{x^2+4x+4\right\}$.

Xét hàm số $g\left(x\right)=x^2+4x+4,x\ge 1$.

Đạo hàm $g^{\text{'}}\left(x\right)=2x+4>0,x\ge 1\Rightarrow \underset{x\ge 1}{\min }g\left(x\right)=9$.

Vậy suy ra $m\le 9$, theo yêu cầu bài toán thì có 10 giá trị của tham số cần tìm.