Chứng tỏ rằng các phương trình sau có nghiệm trong khoảng tương ứng:

a) $x^2=\sqrt{x+1}$ , trong khoảng (1; 2).

a) Xét hàm số $f\left(x\right)=x^2-\sqrt{x+1}$  xác định trên [– 1; +∞).

Do đó hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1; 2].

Mà f(1) =  $1-\sqrt{1+1}=1-\sqrt{2}$< 0 và f(2) =  $2^2-\sqrt{2+1}=4-\sqrt{3}>0$.

Suy ra f(1) . f(2) < 0.

Do đó, theo tính chất của hàm số liên tục, tồn tại điểm c ∈ (1; 2) sao cho f(c) = 0.

Tức là f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 2).

Vậy phương trình  $x^2=\sqrt{x+1}$có nghiệm trong khoảng (1; 2).