Chứng minh rằng: |x – y| ≥ |x| – |y| với mọi x, y ∈ ℝ.
Chứng minh rằng: |x – y| ≥ |x| – |y| với mọi x, y ∈ ℝ.
• Trường hợp 1: Nếu x < y ≤ 0 thì x – y < 0
Khi đó |x – y| = –(x – y) nên |x – y| – |x| + |y| = –(x – y) – x – y = –2x
Do x < 0 nên –2x > 0 hay |x – y| – |x| + |y| > 0
Do đó |x – y| > |x| – |y|.
• Trường hợp 2: Nếu x > y > 0 thì x – y > 0 nên |x – y| – |x| + |y| = x – y – x + y = 0
Do đó |x – y| = |x| – |y|.
• Trường hợp 3: Nếu x = y = 0 thì |x – y| – |x| + |y| = 0
Do đó |x – y| = |x| – |y|.
Kết hợp 3 TH ta có đpcm.