Để n² + 2002 là số chính phương thì n² + 2002 = a² (a là số tự nhiên khác 0)

⇒ a² − n² = 2002

⇒ (a − n) (a + n) = 2002

Do 22002 ⋮ 2.

⇒ (a − n) (a + n) ⋮ 2 hay a – n ⋮ 2 hoặc a + n ⋮ 2 hoặc a − n và a + n đều chia hết cho 2

mà a – n − (a + n) = –2n ⋮ 2

⇒ a − n và a + n cùng chẵn hoặc lẻ ⇒ a − n; a + n đều chia hết cho 2

⇒ (a − n) (a + n) ⋮ 4

Mà 2002 không chia hết cho 4, mâu thuẫn.

Vậy không tồn tại n để n² + 2002 là số chính phương.