Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

a) M = (x ‒ 1)(x² + x + 1) ‒ x²(x ‒ 1) ‒ x² ‒ 23;

b) $N = \left( {x - \frac{1}{2}y} \right)\left( {{x^2} + 2y} \right) - x\left( {{x^2} + 2y} \right) + y\left( {\frac{1}{2}{x^2} + y} \right) - \frac{1}{2}$.

Lời giải

a) Ta có:

M = (x ‒ 1)(x² + x + 1) ‒ x²(x ‒ 1) ‒ x² ‒ 23

 = x³ + x² + x ‒ x² ‒ x ‒ 1 ‒ x³ + x² ‒ x² ‒ 23

 = (x³ ‒ x³) + (x² ‒ x²) + (x ‒ x) + (‒1 ‒ 23)

 = ‒24.

Vậy giá trị của M không phụ thuộc vào giá trị của biến.

b) Ta có:

$N = \left( {x - \frac{1}{2}y} \right)\left( {{x^2} + 2y} \right) - x\left( {{x^2} + 2y} \right) + y\left( {\frac{1}{2}{x^2} + y} \right) - \frac{1}{2}$

 $\; = {x^3} + 2xy - \frac{1}{2}{x^2}y - {y^2} - {x^3} - 2xy + \frac{1}{2}{x^2}y + {y^2} - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2}{\rm{.\;}}$

Vậy giá trị của N không phụ thuộc vào giá trị của biến.