Cho hai đơn thức: A = ‒132x^{n + 1}y¹⁰z^{n + 2}; B = 1,2x⁵yⁿz^{n + 1} với n là số tự nhiên.

a) Tìm các số tự nhiên n để đơn thức A chia hết cho đơn thức B.

b) Tìm đa thức P sao cho P = A : B.

c) Tính giá trị của đa thức P tại n = 9; x = 2; y = –1; z = 5,8.

Lời giải

a) Đơn thức A chia hết cho đơn thức B khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong A.

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}5 \le n + 1\\n \le 10\\n + 1 \le n + 2\end{array} \right.\)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}n \ge 4\\n \le 10\\0 \le 1\end{array} \right.\) hay 4 ≤ n ≤ 10.

Mà n ∈ ℕ nên n ∈ {4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}.

Vậy n ∈ {4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} thì đơn thức A chia hết cho đơn thức B.

b) Ta có: P = A : B

= (‒132x^{n + 1}y¹⁰z^{n + 2}) : (1,2x⁵yⁿz^{n + 1})

= (‒132 : 1,2)(x^{n + 1} : x⁵)(y^{10 ‒} yⁿ)(z^{n + 2} : z^{n + 1})

= ‒110x^{n + 1 ‒ 5}y^{10 ‒ n}z^{n + 2 ‒ n ‒ 1}

= ‒110x^{n ‒ 4}y^{10 ‒ n}z.

Vậy P = ‒110x^{n ‒ 4}y^{10 ‒ n}z.

c) Thay n = 9; x = 2; y = –1; z = 5,8 vào P ta có:

P = ‒110.2^{9 ‒ 4}.(‒1)^{10 ‒ 9}.5,8

 = ‒110.2⁵.(–1).5,8

 = 110 . 32 . 5,8

 = 20 416.

Vậy P = 20 416.