Cho a, b, m và n thỏa mãn các đẳng thức: a + b = m và a – b = n. Giá trị của biểu thức

C. $\text{A = }\frac{\text{1}}{\text{4}}{\text{m(3n}}^{\text{2}}{\text{+ m}}^{\text{2}}\text{)}$

Trả lời

Đáp án đúng là: C

Ta có:

$\left\{\begin{array}{c}a+b=m\\ a-b=n\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}a=\frac{m+n}{2}\\ b=\frac{m-n}{2}\end{array}\right.$

$\Rightarrow ab=\frac{\left(m+n\right)\left(m-n\right)}{2.2}=\frac{m^2-n^2}{4}$

Biến đổi biểu thức A, ta được:

$A=a^3+b^3$

$=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)$'

$=\left(a+b\right)\left[\left(a^2-ab+b^2\right)+ab\right]$

$=\left(a+b\right)\left[{\left(a-b\right)}^2+ab\right]$

Thay a + b = m; a – b = n; $ab=\frac{m^2-n^2}{4}$ vào A ta có:

$\text{A = m}\left({\text{n}}^{\text{2}}\text{+}\frac{{\text{m}}^{\text{2}}-{\text{n}}^{\text{2}}}{\text{4}}\right)$

$\text{=}\frac{{\text{4mn}}^{\text{2}}}{\text{4}}\text{+}\frac{{\text{m}}^{\text{3}}}{\text{4}}-\frac{{\text{mn}}^{\text{2}}}{\text{4}}$

$\text{=}\frac{{\text{3mn}}^{\text{2}}}{\text{4}}\text{+}\frac{{\text{m}}^{\text{3}}}{\text{4}}$

$\text{=}\frac{\text{1}}{\text{4}}\text{m}\left({\text{3n}}^{\text{2}}{\text{+m}}^{\text{2}}\right)$