Cho x, y, z là số thực dương khác 0 thỏa mãn: ${\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\text{}+\frac{1}{z}\right)}^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}$

. Chứng minh rằng $x^3+y^3+z^3=3xyz$.

Ta có: ${\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\text{}+\frac{1}{z}\right)}^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=0\\ \Rightarrow x+y+z=0\end{array}$

Lại có: x³ + y³ + z³ − 3xyz = (x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx)

⇒ x³ + y³ + z³ − 3xyz = 0

⇒ x³ + y³ + z³ = 3xyz.