cho x, y là hai số thỏa mãn điều kiện $2x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{4}=4$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của P = xy.

Ta có: $2x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{4}=4$

$\iff \left(x^2-2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(x^2+\frac{y^2}{4}\right)-2=0$

$\iff {\left(x-\frac{1}{x}\right)}^2+\left(x^2+xy+\frac{y^2}{4}\right)-xy-2=0$

$\iff {\left(x-\frac{1}{x}\right)}^2+{\left(x+\frac{y}{2}\right)}^2-xy-2=0$

$\Rightarrow xy+2={\left(x-\frac{1}{x}\right)}^2+{\left(x+\frac{y}{2}\right)}^2$

Do ${\left(x-\frac{1}{x}\right)}^2\ge 0$  với mọi x ≠ 0,  ${\left(x+\frac{y}{2}\right)}^2\ge 0$với mọi x, y

⇒ P = xy + 2 ≥ 0

⇒ P = xy ≥ ‒2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}x-\frac{1}{x}=0\\ x+\frac{y}{2}=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=2\end{array}\right.$   hoặc $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-2\end{array}\right.$ .

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là ‒2 khi (x; y) ∈ {(–1; 2); (1; –2)}.