Cho tứ diện ABCD có AB,AC,AD đôi một vuông góc và AB= a, ,

Cho tứ diện ABCD có AB,AC,AD đôi một vuông góc và AB= a, $AC=a\sqrt{2}$, $AD=a\sqrt{3}$. Khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) là

Trả lời

Chọn D

Trong mặt phẳng (ABC) kẻ $AM\perp BC$ với $M\in BC$.

Trong mặt phẳng (ADM) kẻ $AH\perp DM\left(1\right)$ với $H\in DM$.

Ta có $\left.\begin{array}{l}AM\perp BC\\ AD\perp BC\end{array}\right\}\Rightarrow BC\perp \left(DAM\right)\Rightarrow BC\perp AH\left(2\right)$.

Từ (1) và (2) suy ra $AH\perp \left(BCD\right)$

Vậy khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) là AH.

Trong tam giác $\Delta ABC$ vuông tại A ta có:

$\frac{1}{A{M}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}\iff \frac{1}{A{M}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{2a^2}\iff \frac{1}{A{M}^2}=\frac{3}{2a^2}\iff AM=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Trong tam giác $\Delta ADM$ vuông tại A ta có:

$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{D}^2}+\frac{9}{A{M}^2}\iff \frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{3a^2}+\frac{9}{6a^2}\iff \frac{1}{A{H}^2}=\frac{11}{6a^2}\iff AH=\frac{a\sqrt{66}}{11}$.