Cho tam giác ABC vuông tại A. Mặt phẳng (P) chứa BC và hợp với mặt phẳng

Cho tam giác ABC vuông tại A. Mặt phẳng (P) chứa BC và hợp với mặt phẳng (ABC) góc $\alpha \left(0^0<\alpha <{90}^0\right).$ Gọi $\beta ,\gamma$ lần lượt là góc hợp bởi hai đường thẳng AB,AC và (P) .Tính giá trị biểu thức $P={\cos }^2\alpha +{\sin }^2\beta +{\sin }^2\gamma .$

Trả lời

Phương pháp:

- Kẻ $AH\perp \left(P\right)\left(H\in \left(P\right)\right)$, xác định các góc $\alpha ,\beta ,\gamma .$

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tìm mối quan hệ giữa

$\cos \alpha ,\sin \beta ,\sin \gamma .$

Cách giải:

Kẻ $AH\perp \left(P\right)\left(H\in \left(P\right)\right)$ ta có $\angle \left(AB;\left(P\right)\right)=\angle ABH=\beta ;\angle \left(AC;\left(P\right)\right)=\angle ACH=\gamma .$

Kẻ $HI\perp BC\left(I\in BC\right)$ ta có: $\left\{\begin{array}{l}BC\perp HI\\ BC\perp AH\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp \left(AHI\right)\Rightarrow BC\perp AI$

$\left\{\begin{array}{l}\left(ABC\right)\cap \left(P\right)=BC\\ AI\subset \left(ABC\right);AI\perp BC\\ HI\subset \left(P\right);HI\perp BC\end{array}\right.\Rightarrow \angle \left(\left(ABC\right);\left(P\right)\right)=\angle \left(AI;HI\right)=\angle AIH=\alpha .$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có:

$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}\Rightarrow \frac{A{H}^2}{A{I}^2}=\frac{A{H}^2}{A{B}^2}+\frac{A{H}^2}{A{C}^2}$

$\iff {\sin }^2\alpha ={\sin }^2\beta +{\sin }^2\gamma$

$\iff 1-{\cos }^2\alpha ={\sin }^2\beta +{\sin }^2\gamma$

$\iff {\cos }^2\alpha +{\sin }^2\beta +{\sin }^2\gamma =1$

Vậy P=1.

Chọn D.