a) ∆ABC có E là trung điểm của AB, M là trung điểm của BC (giả thiết).

Theo bài 4, trang 63, SBT Toán 8 Tập Một, ta có $\text{ME}=\frac{1}{2}\text{AB}$ và ME // AB

Do đó $\text{ME}=\frac{1}{2}\text{AB}=\frac{1}{2}\cdot 4=2$(cm).

b) Tứ giác ABDE có: AB // DE (do AB // ME) và BD // AE (do Bx // AC ).

Suy ra ABDE là hình bình hành.

Hình bình hành ABDE có $\widehat{\text{BAE}}=90°$ (do ∆ABC vuông tại A) nên ABDE là hình chữ nhật.

Ta lại có $\text{AE}=\frac{1}{2}\text{AC}$ (do E là trung điểm của AC), suy ra $\text{AE}=\frac{1}{2}\cdot 8=4$(cm).

Khi đó AB = AE = 4 (cm).

Hình chữ nhật ABDE có AB = AE nên ABDE là hình vuông.

c) Hình vuông ABDE có AD cắt BE tại I, suy ra I là trung điểm của AD và BE.

Xét ∆ADC có I là trung điểm AD, E là trung điểm AC

Theo bài 4, trang 63, SBT Toán 8 Tập Một, ta có: IE // CD và $\text{IE}=\frac{1}{2}\text{CD}$.

Tứ giác BDCE có: BE // CD (vì IE // CD); BD // EC (vì Bx // AC).

Suy ra BDCE là hình bình hành.

Do đó, hai đường chéo BC và DE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà M là trung điểm của BC, suy ra M cũng là trung điểm của DE.

∆ADE có đường trung tuyến AM và EI cắt nhau tại K nên K là trọng tâm của ∆ADE.

Suy ra $\text{KI}=\frac{1}{3}\text{EI}=\frac{1}{3}\cdot \left(\frac{1}{2}\text{ EB}\right)=\frac{1}{6}\text{ EB}=\frac{1}{6}\text{DC}$.

Vậy DC = 6KI.