a) Xét các tam giác HAE, EBF, FCG, GDH có:

AE = BF = CG = DH = a, BE = CF = DG = AH = b (giả thiết);

$\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}=90°$ (do ABCD là hình vuông)

Suy ra ∆HAE = ∆EBF = ∆FCG = ∆GDH (c.g.c) nên HE = EF = FG = GH

Do đó EFGH là hình thoi.

Ta lại có $\widehat{E_1}+\widehat{E_2}=\widehat{E_1}+\widehat{H_1}=90°$ nên $\widehat{E_3}=90°.$

Hình thoi EFGH có $\widehat{E_3}=90°.$ nên EFGH là hình vuông.

b) Ta có SABCD = AB2 = (a + b)2 (1)

${\text{S}}_{\Delta \text{HAE}}=\frac{1}{2}\text{AE}\cdot \text{AH}=\frac{1}{2}\text{ab}$ nên ${\text{S}}_{\Delta \text{HAE}}+{\text{S}}_{\Delta EBF}+{\text{S}}_{\Delta \text{FCG}}+{\text{S}}_{\Delta \text{GDH}}=\frac{1}{2}\text{ab}\cdot 4=2\text{ab}$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra SEFGH = (a + b)2 ‒ 2ab = a2 + 2ab + b2 – 2ab = a2 + b2.