Cho tam giác ABC với AB > AC. Lấy điểm D trên cạnh AB sao cho AC = AD. Qua D kẻ đường thẳng song song với BC và cắt AC tại E. Qua E kẻ đường thẳng song song với CD và cắt AB tại F. Chứng minh rằng:

a) AD² = AF . AB.

b) ∆ACF ᔕ ∆ABC.

Chú ý: Đề trong sách cho D thuộc cạnh BC là sai, cần sửa như trên.

Lời giải

a)

Tam giác ABC có: DE song song với BC nên ∆ADE ᔕ ∆ABC.

Do đó, \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}}\) hay AD = \(\frac{{AB \cdot AE}}{{AC}}\) (1).

Tam giác ADC có: FE song song với DC nên ∆AFE ᔕ ∆ADC.

Do đó, \(\frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AC}}\), hay AD = \(\frac{{AF \cdot AC}}{{AE}}\) (2).

Từ (1) và (2) ta có: \(A{D^2} = \frac{{AB \cdot AE}}{{AC}} \cdot \frac{{AF \cdot AC}}{{AE}} = AB \cdot AF\).

b) Theo câu a có \(\frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AC}}\) và AD = AC (gt), suy ra AE = AF.

Lại có \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}}\) nên \(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AC}}\) (do AC = AD và AE = AF).

Xét tam giác ACF và tam giác ABC có:

\(\widehat A\) chung

\(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}}\) (chứng minh trên)

Do đó, ∆ACF ᔕ ∆ABC (c.g.c).