Cho tam giác ABC với AB > AC. Lấy điểm D trên cạnh AB sao cho AC = AD. Qua D kẻ đường thẳng song song với BC và cắt AC tại E. Qua E kẻ đường thẳng song song với CD và cắt AB tại F. Chứng minh rằng:

a) AD² = AF . AB.

b) ∆ACF ᔕ ∆ABC.

Chú ý: Đề trong sách cho D thuộc cạnh BC là sai, cần sửa như trên.

Lời giải

a)

Tam giác ABC có: DE song song với BC nên ∆ADE ᔕ ∆ABC.

Do đó, $\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}}$ hay AD = $\frac{{AB \cdot AE}}{{AC}}$ (1).

Tam giác ADC có: FE song song với DC nên ∆AFE ᔕ ∆ADC.

Do đó, $\frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AC}}$, hay AD = $\frac{{AF \cdot AC}}{{AE}}$ (2).

Từ (1) và (2) ta có: $A{D^2} = \frac{{AB \cdot AE}}{{AC}} \cdot \frac{{AF \cdot AC}}{{AE}} = AB \cdot AF$.

b) Theo câu a có $\frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AC}}$ và AD = AC (gt), suy ra AE = AF.

Lại có $\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}}$ nên $\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AC}}$ (do AC = AD và AE = AF).

Xét tam giác ACF và tam giác ABC có:

$\widehat A$ chung

$\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}}$ (chứng minh trên)

Do đó, ∆ACF ᔕ ∆ABC (c.g.c).