Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi M là trung điểm của BC, D là chân đường phân giác của góc A. Tính $\overrightarrow{AD}$  .

Theo tính chất đường phân giác thì $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}$

$\Rightarrow \overrightarrow{BD}=\frac{BD}{DC}.\overrightarrow{DC}=\frac{b}{c}.\overrightarrow{DC}$  (*)

Mặt khác $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$  và $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}$

Thay vào (*) ta có: $\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\frac{b}{c}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}$

$\iff b+c\overrightarrow{AD}=b\overrightarrow{AB}+c\overrightarrow{AC}$

$\iff b+c^2{\overrightarrow{AD}}^2=b{\overrightarrow{AB}}^2+2bc\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+c{\overrightarrow{AC}}^2$

$\iff b+c^2{\overrightarrow{AD}}^2=b^2{c}^2+2bc.\frac{1}{2}{c}^2+b^2-a^2+c^2{b}^2$

$\iff {\overrightarrow{AD}}^2=\frac{bc}{b+c^2}.\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AD}=\sqrt{\frac{bc}{b+c^2}.\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)}$.