Cho tam giác ABC, chứng minh rằng:

tan A + tan B + tan C = tan A . tan B . tan C (với điều kiện tam giác ABC không vuông);

Vì tam giác ABC không vuông nên A, B, C khác \(\frac{\pi }{2}\), do đó tan A, tan B, tan C xác định.

Do A + B + C = π nên A + B = π – C, do đó tan(A + B) = tan(π – C) = tan(– C) = – tanC.

Mà \(\tan \left( {A + B} \right) = \frac{{\tan A + \tan B}}{{1 - \tan A\tan B}}\).

Khi đó \(\frac{{\tan A + \tan B}}{{1 - \tan A\,\tan B}} = - \tan C\)

⇔ tan A + tan B = – tan C . (1 – tan A . tan B)

⇔ tan A + tan B = – tan C + tan A . tan B . tan C

⇔ tan A + tan B + tan C = tan A . tan B . tan C.