Cho tam giác ABC cân tại A , các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Tia phân giác của góc ABD cắt EC và AC lần lượt tại M và P

Bài 4 trang 72 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A A^<90°, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Tia phân giác của góc ABD cắt EC và AC lần lượt tại M và P. Tia phân giác của góc ACE cắt DB và AB lần lượt tại Q và N. Chứng minh rằng:

a) ABD^=ACE^;

b) BH = CH;

c) Tam giác BOC vuông cân;

d) MNPQ là hình vuông.

Trả lời

Chú ý: Câu c bổ sung dữ kiện “O là giao điểm của BP và CN”.

Cho tam giác ABC cân tại A (góc A < 90°), các đường cao BD và CE cắt nhau tại H

a) Ta có:

∆ABD vuông tại D (do BD là đường cao ∆ABC), suy ra ABD^+BAC^=90°;

∆AEC vuông tại E (do CE là đường cao ∆ABC), suy ra ACE^+BAC^=90°.

Do đó ABD^=ACE^.

b) ∆ABC cân tại A nên ABC^=ACB^.

Mà ABD^=ACE^ (theo câu a).

Suy ra ABC^-ABD^=ACB^-ACE^ hay B3^=C3^.

Do đó ∆HBC cân tại H nên BH = CH.

c) Ta có B2^=12ABD^ (do BP là tia phân giác ABD^) và C2^=12ACE^ (do CN là tia phân giác ACE^)

Mà ABD^=ACE^, suy ra B2^=C2^.

∆OBC có B3^=C3^B2^=C2^ nên B3^+B2^=C3^+C2^ hay OBC^=OCB^.

Suy ra ∆OBC cân tại O (1)

Mặt khác, vì C2^=B1^ (cùng bằng B2^) nên ta có

B2^+B3^+C2^+C3^=B2^+B3^+B1^+C3^

=EBC^+ECB^=180°-BEC^=180°-90°=90°.

Mà OBC^+OCB^=B2^+B3^+C2^+C3^=90°

Suy ra BOC^=180°-OBC^+OCB^=180°-90°=90°.

Do đó tam giác OBC vuông tại O (2)

Từ (1) và (2) suy ra ∆OBC vuông cân tại O.

d) ∆OBC cân tại O nên OB = OC. (3)

Xét ∆BMH và ∆CQH có:

B2^=C2^ (theo câu b);

BH = CH (do ∆HBC cân tại H);

BHM^=CHQ^ (hai góc đối đỉnh).

Do đó ∆BMH= ∆CQH (g.c.g).

Suy ra BM = CQ. (4)

Từ (3) và (4) suy ra OB ‒ BM = OC ‒ CQ hay OM = OQ. (5)

Mà ∆BNQ có BO là đường cao cũng đường phân giác nên ∆BNQ cân tại B.

Suy ra BO cũng là đường trung tuyến, nên O là trung điểm của QN hay ON = OQ.(6)

Chứng minh tương tự, ta được OP = OM. (7)

Từ (5), (6), (7) suy ra OM = ON = OQ = OP.

Khi đó ON + OQ = OM + OP hay NQ = MP.

Xét tứ giác MNPQ có: OM = OP và OQ = ON nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Mà NQ = MP nên MNPQ là hình chữ nhật.

Ta lại có MP ⊥ NP tại O nên MNPQ là hình vuông.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán 8 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 3: Hình thang – Hình thang cân

Bài 4: Hình bình hành – Hình thoi

Bài 5: Hình chữ nhật – Hình vuông

Bài tập cuối chương 3 trang 72

Bài 1: Thu thập và phân loại dữ liệu

Bài 2: Lựa chọn dạng biểu đồ để biểu diễn dữ liệu

Câu hỏi cùng chủ đề

Xem tất cả