Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng tồn tại một số có dạng 111...11 mà chia hết cho p.
Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng tồn tại một số có dạng 111...11 mà chia hết cho p.
Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng tồn tại một số có dạng 111...11 mà chia hết cho p.
Gọi số có dạng
an = 11...1 có n chữ số 1
Xét dãy p số a1, a2, a3,.., ap
Nếu tồn tại 1 trong p số trên chia hết cho p thì ta có điều phải chứng minh
Nếu không tồn tại số nào chia hết cho p:
⇒ Khi chia p số trên cho p ta được p – 1 số dư
⇒ Tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư
Giả sử 2 số đó là am, an, m > n
⇒ am−an ⋮ p
⇒ 11...1000...0 ⋮ p có m – n chữ số 1, n chữ số 0
⇒11...1 . 10n ⋮ p
Vì p > 5 ⇒10n không chia hết cho p
⇒ 11...1 ⋮ p.