Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là các tam giác đều cạnh a, A'A = A'B = A'C = b. Tính thể tích của khối lăng trụ.

Vì hình chóp A'.ABC có A'A = A'B = A'C, ABC là tam giác đều nên hình chóp A'.ABC là hình chóp đều.

Gọi F là hình chiếu của A' trên mặt phẳng (ABC), khi đó F là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó A'F ^ (ABC) hay A'F là đường cao của hình lăng trụ ABC.A'B'C'.

Giả sử AF Ç CB tại D, suy ra D là trung điểm của BC, AD ^ BC.

Vì ABC là tam giác đều cạnh a, đường cao AD nên $AD=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  và $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ .

Có $AF=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ .

Xét tam giác A'FA vuông tại F, có

$A^{\text{'}}F=\sqrt{A{A^{\text{'}}}^2-A{F}^2}=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{3}}=\sqrt{\frac{3b^2-a^2}{3}}$.

Khi đó $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=S_{ABC}\cdot A^{\text{'}}F=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \sqrt{\frac{3b^2-a^2}{3}}=\frac{a^2\sqrt{3b^2-a^2}}{4}$  .