Cho khối chóp tứ giác đều nội tiếp trong khối cầu có bán kính bằng R=9

Cho khối chóp tứ giác đều nội tiếp trong khối cầu có bán kính bằng R=9. Tính chiều cao h của khối chóp để thể tích khối chóp lớn nhất.

Trả lời

Chọn A

Đặt $SO=h,AB=y\Rightarrow BO=\frac{y\sqrt{2}}{2}\Rightarrow SB=\sqrt{h^2+\frac{y^2}{2}}$

Khi đó $R=\frac{S{B}^2}{2SO}\iff 9=\frac{h^2+\frac{y^2}{2}}{2h}\iff h^2+\frac{y^2}{2}=18h\iff y^2=36h-2h^2\Rightarrow 0<h<18$

              Thể tích khối chóp $V=\frac{1}{3}{y}^2.h=\frac{1}{3}\left(36h-2h^2\right).h=\frac{1}{3}\left(36h^2-2h^3\right)$

              Xét $f\left(h\right)=36h^2-2h^3\Rightarrow f\text{'}\left(h\right)=72h-6h^2$

$f\text{'}\left(h\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}h=0\\ h=12\end{array}\right.$

              Bảng xét dấu

Vậy thể tích lớn nhất khi h = 12.