Cho hình tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm cạnh CD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm các tam giác

Bài 7 trang 94 Toán 11 Tập 1: Cho hình tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm cạnh CD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, CDA.

a) Chứng minh rằng các điểm M, N thuộc mặt phẳng (ABI).

b) Gọi G là giao điểm của AM và BN. Chứng minh rằng: GMGA=GNGB=13 .

c) Gọi P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giác DAB, ABC. Chứng minh rằng các đường thẳng CP, DQ cùng đi qua điểm G và GPGC=GQGD=13 .

Trả lời

a)

Bài 7 trang 94 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

+) Xét tam giác BCD có: I là trung điểm của CD nên BI là đường trung tuyến.

Mà M là trọng tâm tam giác BCD nên BI đi qua M.

Do đó M ∈ BI.

Lại có AI ⊂ (ABI) nên M ∈ (ABI).

+) Xét tam giác ACD có: I là trung điểm của CD nên AI là đường trung tuyến.

Mà N là trọng tâm tam giác ACD nên AI đi qua N.

Do đó N ∈ AI.

Lại có BI ⊂ (ABI) nên N ∈ (ABI).

b) Trong BCD có M là trọng tâm tam giác nên MIBI=13 .

Trong ACD có N là trọng tâm tam giác nên NIAI=13 .

Xét ABI có: NIAI=MIBI=13  nên MN // AB (theo định lí Thalès đảo).

Xét ABI và MN // AB, theo hệ quả định lí Thalès ta có MNAB=NIAI=MIBI=13 .

Xét ABG và MN // AB, theo hệ quả định lí Thalès ta có GMGA=GNGB=MNAB=13 .

c)

Bài 7 trang 94 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

• Gọi G’ là giao điểm của AM và CP; G’’ là giao điểm của AM và DQ.

Chứng minh tương tự câu b, ta có: G'MG'A=G'PG'C=PMAC=13  và G''MG''A=G''QG''D=QMAD=13

Do đó GMGA=G'MG'A=G''MG''A=13 .

Mà G, G’, G’’ cùng nằm trên AM nên G ≡ G’ ≡ G’’.

Vậy các đường thẳng CP, DQ cùng đi qua điểm G.

• Xét tam giác ABC, kẻ đường trung tuyến AE (E ∈ BC).

Ta có: Q là trọng tâm DABC nên AQAE=23.

Xét tam giác ABD, kẻ đường trung tuyến AF (F ∈ BD).

Ta có: P là trọng tâm ABD nên APAF=23.

+) Trong mặt phẳng (AEF), có: AQAE=APAF=23 nên PQ // EF (định lí Thalès đảo)

Mà EF // CD (đường trung bình tam giác BCD).

Suy ra PQ // CD

Theo hệ quả định lí Thalès ta có: GPGC=GQGD=QPCD=QP2EF=12.23=13 .+

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 3: Hàm số liên tục

Bài tập cuối chương 3

Bài 1: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian

Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Bài 4: Hai mặt phẳng song song

 
 

Câu hỏi cùng chủ đề

Xem tất cả