Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh bằng 1 và

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh bằng 1 và $\widehat{BAD}=\widehat{DA{A}^{\text{'}}}=\widehat{A^{\text{'}}AB}={60}^0$. Cho hai điểm M,N thỏa mãn lần lượt $\overrightarrow{C^{\text{'}}B}=\overrightarrow{BM}; \overrightarrow{DN}=2\overrightarrow{D{D}^{\text{'}}}$. Độ dài đoạn thẳng MN là

Trả lời

Chọn D

Từ giả thiết, suy ra các $\Delta A{A}^{\text{'}}B; \Delta ABD;\Delta A{A}^{\text{'}}D$ là các tam giác đều bằng nhau và có cạnh bằng 1. Từ đó suy ra tứ diện $A^{\text{'}}.ABD$ là tứ diện đều.

Gọi G là trọng tâm tam giác ABD. Suy ra $A^{\text{'}}G\perp \left(ABD\right)$.

Dễ dàng tính được $CO=AO=\frac{\sqrt{3}}{2}; GO=\frac{\sqrt{3}}{6};AG=\frac{\sqrt{3}}{3};A^{\text{'}}G=\frac{\sqrt{6}}{3}.$

Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ .

$O\left(0;0;0\right);A\left(\frac{\sqrt{3}}{2};0;0\right); B\left(0;\frac{1}{2};0\right); C\left(\frac{-\sqrt{3}}{2};0;0\right); D\left(0;\frac{-1}{2};0\right); G\left(\frac{\sqrt{3}}{6};0;0\right); A^{\text{'}}\left(\frac{\sqrt{3}}{6};0;\frac{\sqrt{6}}{3}\right)$

Ta có:

$\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}\Rightarrow C^{\text{'}}\left(\frac{-5\sqrt{3}}{6};0;\frac{\sqrt{6}}{3}\right)$ và $\overrightarrow{DN}=2\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}\Rightarrow N\left(\frac{-2\sqrt{3}}{3};\frac{-1}{2};\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)$.

B là trung điểm của $CM\text{'} \Rightarrow M\left(\frac{5\sqrt{3}}{6};1;\frac{-\sqrt{6}}{3}\right)$.

Vậy $MN=\sqrt{15}$.