Chọn D.

* Gọi H là trung điểm của AD. Do tam giác SAD đều nên $SH\perp AD$

Do $\left(SAD\right)\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow SH\perp \left(ABCD\right).$

* Gọi N là trung điểm của $SC;I=MN\cap SO.$

Ta thấy I là trung điểm của MN và I là trung điểm của SO

Khi đó $d\left(O,\left(DMN\right)\right)=d\left(S;\left(DMN\right)\right)\Rightarrow V_{O.DMG}=V_{S.DMG}.$

* Ta có $\frac{V_{S.MID}}{V_{S.AOD}}=\frac{SM}{SA}.\frac{SI}{SO}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4};\frac{V_{S.NID}}{V_{S.COD}}=\frac{SN}{SC}.\frac{SI}{SO}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.$

Mà $V_{S.AOD}=V_{S.COD}=\frac{1}{2}.V_{S.ADC}\Rightarrow V_{S.MND}=V_{S.MID}+V_{S.NID}=\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right).\frac{1}{2}.V_{S.ADC}=\frac{1}{8}{V}_{S.ABCD}$

* Lại có $S_{S.ABCD}=AB.AD=a^2\sqrt{3};SH=a\sqrt{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3a}{2}\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SH.S_{ABCD}=\frac{a^3\sqrt{3}}{2}.$

Khi ấy ta được $V_{S.MND}=\frac{a^3\sqrt{3}}{16}.$

* Mặt khác $\frac{S_{MDG}}{S_{MDN}}=\frac{DG}{DN}=\frac{2}{3}\Rightarrow V_{S.MDG}=\frac{2}{3}.S_{MIN}=\frac{a^3\sqrt{3}}{24}.$ Vậy $V_{O.DMG}=\frac{a^3\sqrt{3}}{24}.$