Cho hình chóp SABCD với ABCD là hình thoi cạnh a, tam giác SAD đều. M là điểm trên cạnh AB, (α) là mặt phẳng qua M

Bài 10 trang 128 Toán 11 Tập 1: Cho hình chóp SABCD với ABCD là hình thoi cạnh a, tam giác SAD đều. M là điểm trên cạnh AB, (α) là mặt phẳng qua M và (α) // (SAD) cắt CD, SC, SD lần lượt tại N, P, Q.

a) Chứng minh rằng MNPQ là hình thang cân.

b) Đặt AM = x, tính diện tích MNPQ theo a và x.

Trả lời

Do (α) đi qua M và (α) // (SAD) nên (α) cắt các mặt của hình chóp tại các giao tuyến song song với (SAD).

+) Trong mặt phẳng (ABCD), từ điểm M kẻ đường thẳng song song với AD cắt CD tại N. Suy ra giao tuyến của (α) và (ABCD) là MN // AD.

+) Trong mặt phẳng (SCD), từ điểm N kẻ đường thẳng song song với SD cắt SC tại P. Suy ra giao tuyến của (α) và (SCD) là NP // SD.

+) Trong mặt phẳng (SBC), từ điểm P kẻ đường thẳng song song với BC // AD cắt SB tại Q. Suy ra giao tuyến của (α) và (SBC) là PQ // AD.

+) Trong mặt phẳng (SAB), nối M và Q. Suy ra giao tuyến của (α) và (SAB) là MQ // SA.

a) Xét từ giác MNPQ, có: MN // PQ nên MNPQ là hình thang.

Ta có: SA // MQ, MN // AD và $\widehat{SAD}=60°$ nên $\widehat{QMN}=60°$.

Ta lại có: MN // AD, NP // SD và $\widehat{SDA}=60°$ nên $\widehat{PNM}=60°$.

Suy ra: $\widehat{QMN}=\widehat{PNM}=60°$

Do đó tứ giác MNPQ là hình thang.

b)

+) Ta có ABCD là hình thoi và MN // AD //BC nên MN = a.

+) Trong tam giác ABC, có PQ // BC nên $\frac{PQ}{BC}=\frac{SQ}{SB}$ (định lí Thales)

+) Trong tam giác SAB, có: MQ / SA nên $\frac{SQ}{SB}=\frac{AM}{AB}=\frac{x}{a}$ (định lí Thales)

Do đó $\frac{PQ}{BC}=\frac{x}{a}\iff \frac{PQ}{a}=\frac{x}{a}\iff PQ=x$.

+) Ta lại có: $\frac{BQ}{SB}=\frac{MQ}{SA}=\frac{a-x}{a}\Rightarrow MQ=a-x$

+) Xét tam giác MHQ vuông tại H, có:

$\sin \widehat{MQH}=\frac{QH}{MQ}\Rightarrow QH=MQ.\sin \widehat{MQH}=(a-x).\sin 60°=\frac{\sqrt{3}(a-x)}{2}$.

Vậy diện tích hình thang cân MNPQ là: $S_{MNPQ}=\frac{(x+a).\frac{\sqrt{3}(a-x)}{2}}{2}=\frac{\sqrt{3}(a^2-x^2)}{4}$.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Bài 5: Phép chiếu song song

Bài tập cuối chương 4

Bài 1: Số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 2: Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài tập cuối chương 5