Cho hình chóp SABCD với ABCD là hình thoi cạnh a, tam giác SAD đều. M là điểm trên cạnh AB, (α) là mặt phẳng qua M

Bài 10 trang 128 Toán 11 Tập 1: Cho hình chóp SABCD với ABCD là hình thoi cạnh a, tam giác SAD đều. M là điểm trên cạnh AB, (α) là mặt phẳng qua M và (α) // (SAD) cắt CD, SC, SD lần lượt tại N, P, Q.

a) Chứng minh rằng MNPQ là hình thang cân.

b) Đặt AM = x, tính diện tích MNPQ theo a và x.

Trả lời

Bài 10 trang 128 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Do (α) đi qua M và (α) // (SAD) nên (α) cắt các mặt của hình chóp tại các giao tuyến song song với (SAD).

+) Trong mặt phẳng (ABCD), từ điểm M kẻ đường thẳng song song với AD cắt CD tại N. Suy ra giao tuyến của (α) và (ABCD) là MN // AD.

+) Trong mặt phẳng (SCD), từ điểm N kẻ đường thẳng song song với SD cắt SC tại P. Suy ra giao tuyến của (α) và (SCD) là NP // SD.

+) Trong mặt phẳng (SBC), từ điểm P kẻ đường thẳng song song với BC // AD cắt SB tại Q. Suy ra giao tuyến của (α) và (SBC) là PQ // AD.

+) Trong mặt phẳng (SAB), nối M và Q. Suy ra giao tuyến của (α) và (SAB) là MQ // SA.

a) Xét từ giác MNPQ, có: MN // PQ nên MNPQ là hình thang.

Ta có: SA // MQ, MN // AD và SAD^=60° nên QMN^=60°.

Ta lại có: MN // AD, NP // SD và SDA^=60° nên PNM^=60°.

Suy ra: QMN^=PNM^=60°

Do đó tứ giác MNPQ là hình thang.

b)

+) Ta có ABCD là hình thoi và MN // AD //BC nên MN = a.

+) Trong tam giác ABC, có PQ // BC nên PQBC=SQSB (định lí Thales)

+) Trong tam giác SAB, có: MQ / SA nên SQSB=AMAB=xa (định lí Thales)

Do đó PQBC=xaPQa=xaPQ=x.

+) Ta lại có: BQSB=MQSA=a-xaMQ=a-x

+) Xét tam giác MHQ vuông tại H, có:

sinMQH^=QHMQQH=MQ.sinMQH^=(a-x).sin60°=3(a-x)2.

Vậy diện tích hình thang cân MNPQ là: SMNPQ=(x+a).3(a-x)22=3(a2-x2)4.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Bài 5: Phép chiếu song song

Bài tập cuối chương 4

Bài 1: Số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 2: Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài tập cuối chương 5

 

Câu hỏi cùng chủ đề

Xem tất cả