Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a

Bài 4 trang 106 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a (Hình 78).

a) Tính khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng CD.

b) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAB).

c) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).

Bài 4 trang 106 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán 11

Trả lời

Bài 4 trang 106 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán 11

a) Do SA ⊥ (ABCD) và CD ⊂ (ABCD) nên SA ⊥ CD.

Vì ABCD là hình vuông nên CD ⊥ AD.

Ta có: CD ⊥ SA, CD ⊥ AD và SA ∩ AD = A trong (SAD).

Suy ra CD ⊥ (SAD).

Mà SD ⊂ (SAD) nên CD ⊥ SD.

Suy ra d(S, CD) = SD.

Do SA ⊥ (ABCD) và AD ⊂ (ABCD) nên SA ⊥ AD.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác SAD vuông tại A (do SA ⊥ AD) có:

SD2 = SA2 + AD2 = a2 + a2 = 2a2.

Suy ra SD=a2.

Do đó dS,CD=SD=a2.

Vậy khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng CD bằng a2.

b) Vì ABCD là hình vuông nên AD ⊥ AB.

Ta có: AD ⊥ SA (theo câu a), AD ⊥ AB và SA ∩ AB = A trong (SAB).

Suy ra AD ⊥ (SAB).

Khi đó d(D, (SAB)) = AD = a.

Vậy khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAB) bằng a.

c) Kẻ AH ⊥ SD (H ∈ SD).

Do CD ⊥ (SAD) (theo câu a) và AH ⊂ (SAD) nên CD ⊥ AH.

Ta có: AH ⊥ CD, AH ⊥ SD và CD ∩ SD = D trong (SCD).

Suy ra AH ⊥ (SCD).

Khi đó d(A, (SCD)) = AH.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SAD vuông tại A, đường cao AH có:

1AH2=1SA2+1AD2=1a2+1a2=2a2

Suy ra AH=a22.

Do đó dA,SCD=AH=a22.

Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) bằng a22.

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Câu hỏi cùng chủ đề

Xem tất cả