Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a
520
08/12/2023
Bài 4 trang 106 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a (Hình 78).
a) Tính khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng CD.
b) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAB).
c) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).

Trả lời

a) Do SA ⊥ (ABCD) và CD ⊂ (ABCD) nên SA ⊥ CD.
Vì ABCD là hình vuông nên CD ⊥ AD.
Ta có: CD ⊥ SA, CD ⊥ AD và SA ∩ AD = A trong (SAD).
Suy ra CD ⊥ (SAD).
Mà SD ⊂ (SAD) nên CD ⊥ SD.
Suy ra d(S, CD) = SD.
Do SA ⊥ (ABCD) và AD ⊂ (ABCD) nên SA ⊥ AD.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác SAD vuông tại A (do SA ⊥ AD) có:
SD2 = SA2 + AD2 = a2 + a2 = 2a2.
Suy ra SD=a√2.
Do đó d(S,CD)=SD=a√2.
Vậy khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng CD bằng a√2.
b) Vì ABCD là hình vuông nên AD ⊥ AB.
Ta có: AD ⊥ SA (theo câu a), AD ⊥ AB và SA ∩ AB = A trong (SAB).
Suy ra AD ⊥ (SAB).
Khi đó d(D, (SAB)) = AD = a.
Vậy khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAB) bằng a.
c) Kẻ AH ⊥ SD (H ∈ SD).
Do CD ⊥ (SAD) (theo câu a) và AH ⊂ (SAD) nên CD ⊥ AH.
Ta có: AH ⊥ CD, AH ⊥ SD và CD ∩ SD = D trong (SCD).
Suy ra AH ⊥ (SCD).
Khi đó d(A, (SCD)) = AH.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SAD vuông tại A, đường cao AH có:
1AH2=1SA2+1AD2=1a2+1a2=2a2
Suy ra AH=a√22.
Do đó d(A,(SCD))=AH=a√22.
Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) bằng a√22.
Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác: