Cho hình chóp S.ABC có ,SA vuong goc (ABC) đáy là tam giác đều cạnh a.

Cho hình chóp S.ABC có $SA\perp \left(ABC\right)$, đáy là tam giác đều cạnh a. Biết $SB=a\sqrt{5}$, khoảng cách từ trung điểm của SA đến mặt phẳng (SBC) bằng

Trả lời

Chọn C

Dựng $AE\perp BC$, $AH\perp SE$.

Theo bài, $SA\perp \left(ABC\right)\supset BC\Rightarrow SA\perp BC$.

Khi đó $\left\{\begin{array}{l}BC\perp SA\subset \left(SAE\right)\\ BC\perp AE\subset \left(SAE\right)\\ SA\cap AE=\left\{A\right\}\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp \left(SAE\right)\supset AH\Rightarrow BC\perp AH$.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}AH\perp SE\subset \left(SBC\right)\\ AH\perp BC\subset \left(SBC\right)\\ BC\cap SE=\left\{E\right\}\end{array}\right.\Rightarrow AH\perp \left(SBC\right)$.

Xét $\Delta SAB$, có $SA=\sqrt{S{B}^2-A{B}^2}=\sqrt{5a^2-a^2}=2a$.

Xét $\Delta ABC$, có $AE=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$\Rightarrow \frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{E}^2}=\frac{1}{4a^2}+\frac{1}{\frac{3a^2}{4}}=\frac{19}{12a^2}\Rightarrow AH=\frac{2a\sqrt{57}}{19}$.

Lấy M là trung điểm của $SA= \Rightarrow d\left(M,\left(SBC\right)\right)=\frac{1}{2}AH=\frac{a\sqrt{57}}{19}$.