Cho hình chóp A.ABCD đáy là hình thoi tâm I cạnh a góc BAD= 60 độ

Cho hình chóp A.ABCD đáy là hình thoi tâm I cạnh a góc $\widehat{BAD}={60}^0,$ hình chiếu của S trên mặt phẳng đáy là M trung điểm của BI góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng ${45}^0.$ Tính theo a thể tích V của khối chóp đó.

Trả lời

Chọn B.

ABCD là hình thoi và $\widehat{BAD}={60}^0$ nên tam giác ABD và $\Delta BCD$ là các tam giác đều.

Ta có $BD=a,MI=\frac{BD}{4}=\frac{a}{4}.$ Tam giác BCD đều cạnh a nên $CI=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ suy ra $AC=a\sqrt{3}.$

Khi đó $MC=\sqrt{M{I}^2+I{C}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a}{4}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{13}}{4}.$

Ta có $SM\perp \left(ABCD\right)$ nên MC là hình chiếu của SC lên (ABCD).

Suy ra $\left(SC,\left(ABCD\right)\right)=\left(SC,MC\right)=\widehat{SCM}={45}^0$

Do đó $\Delta SMC$ vuông cân tại M suy ra $SM=MC=\frac{a\sqrt{13}}{4}.$

Vậy thể tích của khối chóp đã cho là $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.S_{ABCD}.SM=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}a\sqrt{3}.a.\frac{a\sqrt{13}}{4}=\frac{a^3\sqrt{39}}{24}$ (đvtt).