Cho hình bình hành ABCD. Các điểm E, F thuộc đường chéo AC sao cho AE = EF = FC

Bài 8 trang 89 Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Các điểm E, F thuộc đường chéo AC sao cho AE = EF = FC. Gọi M là giao điểm của BF và CD, N là giao điểm của DE và AB. Chứng minh rằng:

a) M, N theo thứ tự là trung điểm của CD, AB;

b) EMFN là hình bình hành.

Trả lời

Bài 8 trang 89 Toán 8 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 8

a) • Ta có: AE = EF = FC nên AE=EF=FC=13AC   (1)

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành.

Khi đó O là trung điểm của AC và BD.

Suy ra AO=CO=12AC   (2)

Từ (1) và (2) suy ra CFCO=13AC12AC=23 hay CF=23CO.

• Xét DBCD có CO là trung tuyến của tam giác và CF=23CO nên F là trọng tâm của DBCD.

Do đó BF hay BM cũng là đường trung tuyến của DBCD.

Suy ra M là trung điểm của CD.

• Chứng minh tương tự đối với DABD ta có E là trọng tâm của tam giác.

Do đó DE hay DN cũng là đường trung tuyến của DABD.

Suy ra N là trung điểm của AB.

b) • Do M là trung điểm của CD (câu a) nên MC=MD=12CD.

            N là trung điểm của AB (câu a) nên NB=NA=12AB.

Mà AB = CD và AB // CD (do ABCD là hình bình hành)

Suy ra NB = MD và NB // MD.

Xét tứ giác BMDN có NB = MD và NB // MD

Do đó BMDN là hình bình hành.

Suy ra BM // DN và BM = DN.

• Ta có E là trọng tâm của DABD nên EN=13DN.

          F là trọng tâm của DBCD nên FM=13BM.

Mà DN = BM (chứng minh trên) nên EN = FM.

• Xét tứ giác EMFN có EN = FM và EN // FM (do BM // DN)

Suy ra EMFN là hình bình hành.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 4: Hình bình hành – Hình thoi

Bài 5: Hình chữ nhật – Hình vuông

Bài tập cuối chương 3

Câu hỏi cùng chủ đề

Xem tất cả