Phương pháp:

- Tìm điểm $M_0\in \left(C_m\right)$ cố định, dự đoán $M_0$ là tiếp điểm.

- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left(C_m\right)$ tại $M_0$.

- Thử lại: Xét phương trình hoành độ giao điểm, chứng minh tiếp tuyến vừa tìm được luôn tiếp xúc với $\left(C_m\right)\forall m\ne 0.$

- Đồng nhất hệ số tìm a,b

Cách giải:

Ta có $y=\frac{\left(2m-1\right)x-m}{x+m}=\frac{2mx-x-m}{x+m}=\frac{2mx}{x+m}-1.$

$\Rightarrow \forall m\ne 0$ thì đồ thị hàm số $\left(C_m\right)$ luôn đi qua điểm cố định $M_0\left(0;-1\right).$ Ta dự đoán $M_0$ là tiếp điểm.

Khi đó ta có: Đường thẳng $y=ax+b$ là tiếp tuyến của $\left(C_m\right)$ tại $M_0\left(0;-1\right).$

Ta có: $y\text{'}=\frac{2m^2}{{\left(x+m\right)}^2}\Rightarrow y\text{'}\left(0\right)=2.$

 Phương trình tiếp tuyến của $\left(C_m\right)$ tại $M_0\left(0;-1\right)$ là: $y=2\left(x-0\right)-1=2x-1.$

Thử lại: Xét phương trình hoành độ giao điểm

$\frac{2mx}{x+m}-1=2x-1\iff 2mx=2x^2+2mx\iff 2x^2=0\iff x=0$ (nghiệm kép).

Do đó đường thẳng $y=2x-1$ luôn tiếp xúc với $\left(C_m\right)$ (thỏa mãn).

Vậy $a=2,b=-1\Rightarrow a+b=1.$

Chọn B.