Phương pháp:

- Tìm TXĐ $D=ℝ\backslash \left\{x_0\right\}.$

- Để hàm số đồng biến trên (a;b) thì $y\text{'}>0\forall x\in \left(a;b\right)\iff \left\{\begin{array}{l}y\text{'}>0\\ x_0\notin \left(a;b\right)\end{array}\right..$

Cách giải:

TXĐ: $D=ℝ\backslash \left\{2m\right\}.$

Ta có $y=\frac{mx-18}{x-2m}\Rightarrow y\text{'}=\frac{-2m^2+18}{{\left(x-2m\right)}^2}$

Để hàm số đồng biến trên khoảng $\left(2;+\infty \right)$ thì $y\text{'}>0\forall x\in \left(2;+\infty \right)$

$\iff \left\{\begin{array}{l}18-2m^2>0\\ 2m\notin \left(2;+\infty \right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-3<m<3\\ 2m\le 2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-3<m<3\\ m\le 1\end{array}\right.\iff -3<m\le 1$

Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{-2;-1;0;1\right\}=S.$

Vậy tổng các phần tử của S bằng: $-2-1+0+1=-2.$

Chọn A