Chọn đáp án C               

Lấy tích phân hai vế với cận từ 0 đến 1 của đẳng thức $2f\left(x\right)+x{f}^{\text{'}}\left(x\right)=2x+1$, ta có:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}2f\left(x\right)\text{d}x+\underset{0}{\overset{1}{\int }}x{f}^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(2x+1\right)\text{d}x$.

Suy ra

$2\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x+\underset{0}{\overset{1}{\int }}x{f}^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x=\left(x^2+x\right)\left|{}_0^1\right.=2$.

Hay

$2I+J=2$ với $J=\underset{0}{\overset{1}{\int }}x{f}^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x$.

Xét $J=\underset{0}{\overset{1}{\int }}x{f}^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x$.

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=x\Rightarrow \text{d}u=\text{d}x\\ \text{d}v=f^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x\Rightarrow v=f\left(x\right)\end{array}\right.$.

Khi đó $J=uv\left|{}_0^1\right.-\underset{0}{\overset{1}{\int }}v\text{d}u=xf\left(x\right)\left|{}_0^1\right.-\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=f\left(1\right)-I=-3-I$.

Thay $J=-3-I$ vào đẳng thức $2I+J=2$, ta có ngay $2I-3-I=2$, hay I=5.