Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) xác định trên . Đồ thị hàm số y= f'(x) như hình vẽ dưới đây:

Hỏi hàm số $y=f\left(x^2\right)$ có bao nhiêu điểm cực đại và bao nhiêu điểm cực tiểu?

C. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

Trả lời

Chọn B

Từ đồ thị hàm số y = f'(x), ta thấy:

$f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=1\\ x=3\end{array}\right.$,

$f^{\text{'}}\left(x\right)>0\iff x\in \left(-\infty ;0\right)\cup \left(3;+\infty \right)$

$f^{\text{'}}\left(x\right)<0\iff x\in \left(0;1\right)\cup \left(1;3\right)$.

Ta có $y^{\text{'}}={\left(f\left(x^2\right)\right)}^{\text{'}}=2x.f^{\text{'}}\left(x^2\right)$

$y^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ f^{\text{'}}\left(x^2\right)=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm 1\\ x=\pm \sqrt{3}\end{array}\right.$

$f^{\text{'}}\left(x^2\right)>0\iff \left[\begin{array}{l}{x}^2<0\\ x^2>3\end{array}\right.\iff x\in \left(-\infty ;\sqrt{3}\right)\cup \left(\sqrt{3};+\infty \right)$

Bảng biến thiên

Vậy hàm số $y=f\left(x^2\right)$ có  2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại.