Chọn A

Dựa vào đồ thị ta có :

$\left\{\begin{array}{l}{\left(-1\right)}^3+a.{\left(-1\right)}^2+b.\left(-1\right)+c=0\\ 0^3+a{.0}^2+b.0+c=0\\ 1^3+a{.1}^2+b.1+c=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a-b+c=1\\ c=0\\ a+b+c=-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=c=0\\ b=-1\end{array}\right.$.

Khi đó $f^{\text{'}}\left(x\right)=x^3-x\Rightarrow {f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2-1$

Ta có $g^{\text{'}}\left(x\right)={\left[f\left(f^{\text{'}}\left(x\right)\right)\right]}^{\text{'}}={f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(x\right).f^{\text{'}}\left(f^{\text{'}}\left(x\right)\right)\Rightarrow g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}{f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(x\right)=0\\ f^{\text{'}}\left(f^{\text{'}}\left(x\right)\right)=0\end{array}\right.$.

Xét ${f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff 3x^2-1=0\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{3}}{3}\\ x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\right.$.

Xét $f^{\text{'}}\left(f^{\text{'}}\left(x\right)\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}{f}^{\text{'}}\left(x\right)=-1\\ f^{\text{'}}\left(x\right)=0\\ f^{\text{'}}\left(x\right)=1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}{x}^3-x=-1\\ x^3-x=0\\ x^3-x=1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=a,a<-1\\ x=-1;x=1;x=0\\ x=b,b>1\end{array}\right.$.

Với $x>b\Rightarrow {f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(x\right)>0$.

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }{f}^{\text{'}}\left(x\right)=+\infty \Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\lim }{f}^{\text{'}}\left(f^{\text{'}}\left(x\right)\right)=+\infty \Rightarrow \forall x\in \left(b;+\infty \right),f^{\text{'}}\left(f^{\text{'}}\left(x\right)\right)>0$.

Do đó $g^{\text{'}}\left(x\right)>0,\forall x\in \left(b;+\infty \right)$.

Các nghiệm của phương trình $g^{\text{'}}\left(x\right)=0$ đều là các nghiệm đơn nên áp dụng quy tắc đan dấu, ta có bảng biến thiên như sau :

Vậy hàm số đã cho có 4 khoảng đồng biến.