Cho hàm số f(x)=(x^2-m)|x-2|+ (m+6)x-2x^2 (m là tham số). Có bao nhiêu

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left(x^2-m\right)\left|x-2\right|+\left(m+6\right)x-2x^2$ (m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số  để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị?

Trả lời

Cách giải:

Ta có:

$f\left(x\right)=\left(x^2-m\right)\left|x-2\right|+\left(m+6\right)x-2x^2$

$\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=2x\left|x-2\right|+\left(x^2-m\right).\frac{x-2}{\left|x-2\right|}-4x+m+6$

$\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\left[\begin{array}{l}2x\left(x-2\right)+x^2-m-4x+m+6=3x^2-8x+6\text{ khi }x>2\\ -2x\left(x-2\right)-x^2+m-4x+m+6=-3x^2+2m+6\text{ khi }x<2\end{array}\right.$

Với $x=2\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=3x^2-8x+6>0\forall x>2.$

Để hàm số đã cho có 2 điểm cực trị thì phương trình $-3x^2+2m+6=0\iff x^2=\frac{2m+6}{3}$ có 2 nghiệm $x_1<x_2<2\left(*\right).$

Ta có BXD f(x) như sau:

`

Khi đó hàm số ban đầu sẽ thỏa mãn có 3 điểm cực trị.

Ta có $\left(*\right)\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{2m+6}{3}>0\\ \sqrt{\frac{2m+6}{3}}<2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m>-3\\ \frac{2m+6}{3}<4\end{array}\right.\iff -3<m<3.$

Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{-2;-1;0;1;2\right\}.$

Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A.