Cho hàm số $f\left(x\right)=4{\sin }^2\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ . Chứng minh rằng |f'(x)| ≤ 8 với mọi x Î ℝ. Tìm x để f'(x) = 8.

+ Có $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left[4{\sin }^2\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)\right]}^{\text{'}}$$=8\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right){\left[\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)\right]}^{\text{'}}$

$=8\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)cos\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)\cdot {\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)}^{\text{'}}$

$=8\cdot 2\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)cos\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$$=8\sin \left(4x-\frac{2\pi }{3}\right)$

Vì $\left|\sin \left(4x-\frac{2\pi }{3}\right)\right|\le 1$  với mọi x Î ℝ nên $\left|8\sin \left(4x-\frac{2\pi }{3}\right)\right|\le 8$  với mọi x Î ℝ .

Vậy |f'(x)| ≤ 8 với mọi x Î ℝ.

+ Có f'(x) = 8 $\iff 8\sin \left(4x-\frac{2\pi }{3}\right)=8$

 $\iff \sin \left(4x-\frac{2\pi }{3}\right)=1$

 $\iff 4x-\frac{2\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ (k Î ℤ)

  $\iff 4x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi$ (k Î ℤ)

$\iff x=\frac{7\pi }{24}+k\frac{\pi }{2}$ (k Î ℤ).

Vậy f'(x) = 8 khi $x=\frac{7\pi }{24}+k\frac{\pi }{2}$ với k Î ℤ.