Biết y là hàm số của x thỏa mãn phương trình xy = 1 + lny. Tính y'(0).

Đạo hàm hai vế của phương trình đã cho, ta có

(xy)' = (1 + lny)' $\iff y+x{y}^{\text{'}}=\frac{y^{\text{'}}}{y}$

$\iff y=\frac{y^{\text{'}}}{y}-x{y}^{\text{'}}$$\iff y=\left(\frac{1}{y}-x\right)y^{\text{'}}$

$\iff y=\left(\frac{1-xy}{y}\right)y^{\text{'}}$$\iff y^{\text{'}}=\frac{y^2}{1-xy}$

Tại x = 0 thay vào phương trình xy = 1 + lny ta được lny = −1 Û y = e⁻¹.

Do đó $y^{\text{'}}\left(0\right)=\frac{e^{-2}}{1-0\cdot e^{-1}}=e^{-2}=\frac{1}{e^2}$

Vậy $y^{\text{'}}\left(0\right)=\frac{1}{e^2}$