Cho hàm số f(x)= (sinx-m)^2+ (cosx- n)^2 (m,n  là các tham số nguyên).

Cho hàm số $f\left(x\right)={\left(\sin x-m\right)}^2+{\left(\cos x-n\right)}^2(m,n$ là các tham số nguyên). Có tất cả bao nhiêu bộ (m,n) sao cho $\underset{x\in ℝ}{\min }f\left(x\right)+\underset{x\in ℝ}{\max }f\left(x\right)=52?$

Trả lời

Phương pháp:

- Khai triển hằng đẳng thức.

- Sử dụng: $-\sqrt{a^2+b^2}\le a\sin x+b\cos x\le \sqrt{a^2+b^2},$ từ đó tìm $\underset{x\in ℝ}{\min }f\left(x\right),\underset{x\in ℝ}{\max }f\left(x\right).$

- Giải phương trình tìm nghiệm nguyên m,n

Cách giải:

Ta có:

$f\left(x\right)={\left(\sin x-m\right)}^2+{\left(\cos x-n\right)}^2$

$f\left(x\right)={\sin }^{2}x-2m\sin x+m^2+{\cos }^{2}x-2n\cos x+n^2$

$f\left(x\right)=1-2\left(m\sin x+n\cos x\right)+m^2+n^2$

Ta có: $-\sqrt{m^2+n^2}\le m\sin x+n\cos x\le \sqrt{m^2+n^2}$

$\Rightarrow 2\sqrt{m^2+n^2}\ge -2\left(m\sin x+n\cos x\right)\ge -2\sqrt{m^2+n^2}$

$\Rightarrow 1+2\sqrt{m^2+n^2}\ge 1-2\left(m\sin x+n\cos x\right)\ge 1-2\sqrt{m^2+n^2}$

$\Rightarrow 1+2\sqrt{m^2+n^2}+m^2+n^2\ge f\left(x\right)\ge 1-2\sqrt{m^2+n^2}+m^2+n^2$

$\Rightarrow \underset{x\in ℝ}{\min }f\left(x\right)=1-2\sqrt{m^2+n^2}+m^2+n^2$

$\underset{x\in ℝ}{\max }f\left(x\right)=1+2\sqrt{m^2+n^2}+m^2+n^2$

Theo bài ra ta có:

$$$\iff 1-2\sqrt{m^2+n^2}+m^2+n^2+1+2\sqrt{m^2+n^2}+m^2+n^2=52$

$\iff 2+2m^2+2n^2=52$

$\iff m^2+n^2=25$

Vì $m,n\in \mathbb{Z}\Rightarrow \left(m;n\right)\in \left\{\begin{array}{l}\left(0;5\right);\left(0;-5\right);\left(5;0\right);\left(-5;0\right);\\ \left(3;4\right);\left(3;-4\right);\left(-3;4\right);\left(-3;-4\right)\\ \left(4;3\right);\left(4;-3\right);\left(-4;3\right);\left(-4;-3\right)\end{array}\right\}$.

Vậy có 12 bộ số m,n thỏa mãn.

Chọn D.