Chọn D

Đặt $t=2^{f\left(x\right)-2}\left(t>0\right)$. Phương trình đã cho trở thành

$t^3-3t^2+2\left(m+3\right)t-2m-4=0\iff \left(t-1\right)\left(t^2-2t+4+2m\right)=0.\left(1\right)$

Với $x\in \left(-1;0\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in \left(0;2\right)\iff t=2^{f\left(x\right)-2}\in \left(\frac{1}{4};1\right).$

Yêu cầu bài toán tương đương với (1) có nghiệm $\in \left(\frac{1}{4};1\right)$, tương đương với $t^2-2t+4+2m=0$ có nghiệm thuộc khoảng $\left(\frac{1}{4};1\right)$ hay $m=\frac{1}{2}\left(-t^2+2t-4\right)=g\left(t\right)$ có nghiệm thuộc khoảng $\left(\frac{1}{4};1\right)$.

Đặt $g\left(t\right)=\frac{1}{2}\left(-t^2+2t-4\right)\Rightarrow g^{\text{'}}\left(t\right)=-t+1>0$ với $\forall t\in \left(\frac{1}{4};1\right)$.

Ta có bảng biến thiên của g(t) như sau

Để phương trình có nghiệm thì $-\frac{57}{32}<m<-\frac{3}{2}$.

Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên không có giá trị nguyên nào của m để phương trình có nghiệm.