Cho hai tam giác đều ABC và AB’C’ như Hình 9. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BB’ và CC’. Chứng minh ∆AMN đều.

Do DABC là tam giác đều nên AB = AC và $\widehat{BAC}=60°$.

Do DAB’C’ là tam giác đều nên AB’ = AC’ và $\widehat{B^{\text{'}}A{C}^{\text{'}}}=60°$.

Ta có phép quay tâm A, góc quay 60° biến:

⦁ Điểm B thành điểm C;

⦁ Điểm B’ thành điểm C’.

Do đó ảnh của đoạn thẳng BB’ qua phép quay tâm A, góc quay 60° là đoạn thẳng CC’.

Mà M, N lần lượt là trung điểm của BB’, CC’ (giả thiết).

Do đó phép quay tâm A, góc quay 60° biến điểm M thành điểm N.

Suy ra AM = AN và $\widehat{MAN}=\left(AM,AN\right)=60°$.                

DAMN có AM = AN và $\widehat{MAN}=60°$ nên là tam giác đều.

Vậy ∆AMN đều.