Cho hai hàm số: f(x)=1/3 x^3-(m+1)x^2+ (3m^2+4m +5)x+ 2021 và

Cho hai hàm số: $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-\left(m+1\right)x^2+\left(3m^2+4m+5\right)x+2021$ và $g\left(x\right)=\left(m^2+2m+5\right)x^3-\left(2m^2+4m+9\right)x^2-3x+2$ với m là tham số. Hỏi phương trình $g\left(f\left(x\right)\right)=0$ có bao nhiêu nghiệm?

Trả lời

Phương pháp:

- Phân tích VT thành nhân tử và giải bất phương trình tích.

- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm nghiệm của bất phương trình.

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}{9}^x-2\left(x+5\right)3^x+9\left(2x+1\right)\ge 0\\ \iff 9^x-{9.3}^x-\left(2x+1\right)3^x+9\left(2x+1\right)\ge 0\\ \iff 3^x\left(3^x-9\right)-\left(2x+1\right)\left(3^x-9\right)\ge 0\\ \iff \left(3^x-2x-1\right)\left(3^x-9\right)\ge 0\\ \iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{3}^x\ge 2x+1\\ 3^x\ge 9\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}{3}^x\le 2x+1\\ 3^x\le 9\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{3}^x-2x-1\ge 0\\ x\ge 2\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}{3}^x-2x-1\le 0\\ x\le 2\end{array}\right.\end{array}\right.\left(1\right)\end{array}$

Xét hàm số $y=3^x-2x-1$ ta có $y\text{'}=3^x\ln 3-2=0\iff 3^x=\frac{2}{\ln 3}\iff x={\log }_3\frac{2}{\ln 3}=x_0.$

BBT:

Dựa vào BBT ta có: $\left\{\begin{array}{l}{3}^x-2x-1\ge 0\iff \left[\begin{array}{l}x\le 0\\ x\ge 1\end{array}\right.\\ 3^x-2x-1\le 0\iff 0\le x\le 1\end{array}\right..$ Khi đó $\left(1\right)\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}x\ge 1\\ x\le 0\end{array}\right.\\ x\ge 2\end{array}\right.\\ \left\{\left[\begin{array}{l}0\le x\le 1\\ x\le 2\end{array}\right.\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x\ge 2\\ 0\le x\le 1\end{array}\right..$

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left[0;1\right]\cup \left[2;+\infty \right).$

Vậy $a=0;b=1;c=2\Rightarrow a-2b+c=0.$

Chọn A.