Cho dãy \[\left( {{u_n}} \right)\] với \[{u_n} = \frac{{n + 2018}}{{2018n + 1}}\]. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Đáp án B

Phương pháp:

Chứng minh dãy số đã cho là dãy số giảm bằng cách chứng minh hiệu \[{u_{n + 1}} - {u_n} < 0.\] Từ đó chọn kết luận đúng.

Cách giải:

Ta có

\[{u_n} = \frac{{n + 2018}}{{2018n + 1}} = \frac{{n + \frac{1}{{2018}} + 2018 - \frac{1}{{2018}}}}{{2018n + 1}}\]

\[ = \frac{1}{{2018}} + \frac{{2018 - \frac{1}{{2018}}}}{{2018n + 1}} = \frac{1}{{2018}} + \frac{{{{2018}^2} - 1}}{{2018\left( {2018n + 1} \right)}} = \frac{1}{{2018}} + \frac{{2017.2019}}{{2018\left( {2018n + 1} \right)}}\]

\[ \Rightarrow {u_{n + 1}} = \frac{1}{{2018}} + \frac{{2017.2019}}{{2018\left( {2018\left( {n + 1} \right) + 1} \right)}}\]

\[ = \frac{1}{{2018}} + \frac{{2017.2019}}{{2018\left( {2018n + 2019} \right)}}\]

\[ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n}\]

\[ = \frac{{2017.2019}}{{2018\left( {2018n + 2019} \right)}} - \frac{{2017.2019}}{{2018\left( {2018n + 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{2017.2019}}{{2018}}\left( {\frac{1}{{2018n + 2019}} - \frac{1}{{2018n + 1}}} \right)\]

Do \[2018n + 2019 > 2018n + 1 \Rightarrow \frac{1}{{2018n + 2019}} < \frac{1}{{2018n + 1}}\]

\[ \Rightarrow \frac{1}{{2018n + 2019}} - \frac{1}{{2018n + 1}} < 0\] hay \[{u_{n + 1}} - {u_n} < 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}.\]

Suy ra dãy số đó cho là dãy số giảm.

Lại có \[{u_1} = \frac{{1 + 2018}}{{2018 + 1}} = 1.\] Vậy dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] giảm và bị chặn dưới bởi 1.