Cho đa thức G = 1/2x^2 + bx + 23 với b là một số cho trước sao cho 1/2 + b là số nguyên. Chứng tỏ rằng: G luôn nhận giá trị nguyên tại mọi số nguyên x.

Trả lời

Lời giải

Ta có: $G = \frac{1}{2}{x^2} + bx + 23 = \frac{1}{2}{x^2} - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x + bx + 23$

 $\; = \left( {\frac{1}{2}{x^2} - \frac{1}{2}x} \right) + \left( {\frac{1}{2}x + bx} \right) + 23$

 $= \frac{{{x^2} - x}}{2} + \left( {\frac{1}{2} + b} \right)x + 23$

 $\; = \frac{{\left( {x - 1} \right)x}}{2} + \left( {\frac{1}{2} + b} \right)x + 23$.

Do trong hai số nguyên liên tiếp luôn có một số chia hết cho 2 nên $\frac{{\left( {x - 1} \right)x}}{2}$ luôn nhận giá trị nguyên tại mọi số nguyên x.

Mà $\frac{1}{2} + b$ là số nguyên, suy ra $\frac{{\left( {x - 1} \right)x}}{2} + \left( {\frac{1}{2} + b} \right)x + 23$ luôn nhận giá trị nguyên tại mọi số nguyên x.

Vậy G luôn nhận giá trị nguyên tại mọi số nguyên x.