Cho đa thức f(x) với hệ số thực và thỏa mãn điều kiện 2f(x) + f(1-x) = x^2

64 01/05/2024

Cho đa thức f(x) với hệ số thực và thỏa mãn điều kiện $2 f (x) + f (1 - x) = x^{2}$ , $\forall x \in ℝ$ . Biết tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x=1 của đồ thị hàm số $y = f (x)$ tạo với hai trục tọa độ một tam giác. Tính diện tích tam giác đó.

$\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3}$ .

Trả lời

Chọn A

Thay x bởi 1-x vào phương trình $2 f (x) + f (1 - x) = x^{2}$ ta được $2 f (1 - x) + f (x) = {(1 - x)}^{2}$ .

Suy ra

$2 [2 f (x) + f (1 - x)] - [2 f (1 - x) + f (x)] = 2 x^{2} - {(1 - x)}^{2} \Leftrightarrow f (x) = \frac{1}{3} (x^{2} + 2 x - 1) .$

Khi đó $f^{'} (x) = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3}$ . Với $x_{0} = 1 \Rightarrow y_{0} = f (1) = \frac{2}{3}; f^{'} (x_{0}) = f^{'} (1) = \frac{4}{3} .$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm x=1 là

$(Δ) : y = \frac{4}{3} (x - 1) + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} x - \frac{2}{3} .$

Tiếp tuyến cắt Ox tại điểm $A (\frac{1}{2}; 0)$ và Oy tại $B (0; - \frac{2}{3})$ , suy ra $O A = \frac{1}{2}; O B = \frac{2}{3} .$

Diện tích tam giác đó là

$S_{△ O A B} = \frac{1}{2} O A . O B = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} . \frac{2}{3} = \frac{1}{6} .$

30 đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải

Xem tất cả

Cho đa thức f(x) với hệ số thực và thỏa mãn điều kiện 2f(x) + f(1-x) = x^2

Trả lời

Câu hỏi cùng chủ đề

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có các cạnh AB=AA'=2a , đáy ABC là tam

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng

Cho các hàm số f(x) = mx^4+ mx^3+ px^2+ qx + r

Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau và

Cho phương trình: 2^m .2 ^sin 2x + 3. 1/ 9 ^cos x +2 + m - cos(1)

Cho hàm số y= (x-1) ( x^2-2x-3) có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây?

Một bác nông dân có số tiền 20.000.000 đồng. Bác dùng số tiền đó gửi ngân hàng loại kì

Cho x,y là các số thực thỏa mãn (2x+ y) ^2.2^5x^2+2xy+2y^2-9 + ( x-y)^2=9

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC có góc BAC= 120 độ, Bc=3a

Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm trên ℝ và đồ thị hàm số y= f'(x) cắt trục hoành

Danh mục