Cho cấp số nhân (un) với số hạng đầu u1 = a và công bội q ≠ 1. Để tính tổng của n số hạng đầu S­n = u1 + u2 + ... + u(n – 1) + un, thực hiện lần lượt các yêu cầu sau

HĐ3 trang 54 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (u_n) với số hạng đầu u₁ = a và công bội q ≠ 1.

Để tính tổng của n số hạng đầu

S­_n = u₁ + u₂ + ... + u_{n – 1} + u_n,

thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:

a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng trên theo u₁ và q để được biểu thức tính tổng S_n chỉ chứa u₁ và q.

b) Từ kết quả phần a, nhân cả hai vế với q để được biểu thức tính tích q . S_n chỉ chứa u₁ và q.

c) Trừ từng vế hai đẳng thức nhận được ở a và b và giản ước các số hạng đồng dạng để tính (1 – q)S_n theo u₁ và q. Từ đó suy ra công thức tính S_n.

Trả lời

a) Ta có: u₂ = u₁ . q; ...; u_{n – 1} = u₁ . q(^{n – 1) – 1} = u₁ . q^{n – 2}; u_n = u₁ . q^{n – 1}.

Do đó, S_n = u₁ + u₂ + ... + u_{n – 1} + u_n = u₁ + u₁ . q + ... + u₁ . q^{n – 2} + u₁ . q^{n – 1} (1).

b) Ta có: q . S_n = q . (u₁ + u₁ . q + ... + u₁ . q^{n – 2} + u₁ . q^{n – 1})

⇔ q . S_n = u₁ . q + u₁ . q² + ... + u₁ . q^{n – 1} + u₁ . qⁿ (2).

c) Lấy (1) trừ vế theo vế cho (2) ta được:

S_n – q . S_n = (u₁ + u₁ . q + ... + u₁ . q^{n – 2} + u₁ . q^{n – 1}) – (u₁ . q + u₁ . q² + ... + u₁ . q^{n – 1} + u₁ . qⁿ)

⇔ (1 – q)S_n = u₁ – u₁ . qⁿ

⇔ (1 – q)S_n = u₁(1 – qⁿ)

⇒ S_n = $\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}$ (với q ≠ 1).

Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 5: Dãy số

Bài 6: Cấp số cộng

Bài 7: Cấp số nhân

Bài tập cuối chương 2

Bài 8: Mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 9: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm